ავსტრიის ლოგიკოსი კურტ გიოდელი XX საუკუნის ერთ-ერთი ყველაზე ორიგინალური მოაზროვნე იყო. მისი ორი არასრულყოფილების თეორემა, რომელიც 1931 წელს გამოაქვეყნა, რადიკალურად შეცვალა მათემატიკა და საფუძველი ჩაუყარა ციფრულ ეპოქას.
1930-იანი წლების გამორჩეული შედეგების შემდეგ, გიოდელმა მხოლოდ რამდენიმე ნაშრომი გამოაქვეყნა. თუმცა, მისი გამოუქვეყნებელი სამუშაო ათიათასობით გვერდს მოიცავს და მეცნიერების ისტორიკოსებისთვის დიდ ინტერესს წარმოადგენს.
2017 წლიდან, ფინელი ლოგიკოსი იან ფონ პლატო ხელმძღვანელობს ჰელსინკის უნივერსიტეტში პროექტს, რომლის მიზანია გაანალიზოს 16 რვეული, რომლებიც გიოდელმა 1940-იანი წლების დასაწყისში დაწერა. ეს მასალა — „სამუშაო რვეულები“ — 1 009 გვერდის მოცულობისაა და მათემატიკასა და ლოგიკაზეა დაწერილი, ძალიან მჭიდრო ტექსტით. მისი დიდი ნაწილი გერმანულ სტენოგრაფიაშია — გაბელსბერგერის სისტემით, რომელიც უკვე მოძველებული იყო მაშინაც, როცა გიოდელი იყენებდა.
ტექსტის მათემატიკური გააზრების პროცესი ძალიან ნელა მიმდინარეობდა — დაახლოებით ერთი გვერდი კვირაში — სანამ სექტემბერში ფონ პლატომ არ ჩართო AI მოდელი Claude-ის დახმარება. სულ რამდენიმე დღეში Claude-მა სრულყოფილი მიმოხილვა გააკეთა მთელი მასალისა, რის შედეგადაც გაირკვა, რომ გიოდელმა ასობით თეორემა დაამტკიცა, რომელთა შესახებაც არავინ იცოდა.
თანამედროვე ეპოქის ყველაზე ცნობილი ლოგიკოსი, ფაქტობრივად, გაცილებით მეტს მიაღწია, ვიდრე ვინმეს ეგონა.
„გაოცებული დავრჩი,“ — ამბობს ფონ პლატო. „სამუშაო რვეულებში არა მხოლოდ ათობით შედეგია, რომლებიც მხოლოდ 70-80-იან წლებში გახდა ცნობილი, არამედ 14 ახალი თემა ლოგიკაში, რომელთა კვლევაც არავის დაუწყია. გიოდელი ბევრად უსწრებდა თავის დროს.“
გიოდელმა ლოგიკის მიმართულება შეცვალა, რადგან მან მათემატიკური ცოდნის საზღვრები გამოავლინა. მისი არასრულყოფილების თეორემები აჩვენებს, რომ ყველა მათემატიკურ სისტემაში არსებობს ჭეშმარიტი გამონათქვამები, რომელთა დამტკიცება ან უარყოფა შეუძლებელია. მიუხედავად იმისა, რომ ეს შედეგი წინა თაობის ლოგიკოსებისთვის იმედგაცრუება იყო — ისინი ფიქრობდნენ, რომ ყველა ჭეშმარიტება დასამტკიცებელი იქნებოდა — გიოდელის ნაშრომმა სფერო ახალ მიმართულებებში წაიყვანა და შთააგონა ალან ტიურინგი, რომელმაც 1936 წელს დაწერა სტატია, რომელიც თანამედროვე გამოთვლების თეორიის დასაწყისი გახდა.
1940 წელს გიოდელი ავსტრიიდან ნაცისტების გამო გაიქცა. ის პრინსტონში, ნიუ ჯერსიში დასახლდა და იქ ახლო მეგობრობა ჩამოაყალიბა ალბერტ აინშტაინთან, Advanced Study ინსტიტუტში. ცხოვრების ბოლოს, პარანოიდული გახდა — უარს ამბობდა იმაზე, რომ ეჭამა ცოლი თუ არ მოუმზადებდა საჭმელს, და 1978 წელს შიმშილით გარდაიცვალა.
ფონ პლატო ამბობს, რომ გიოდელის პროექტი 2017 წელს დაიწყო, რადგან ჰელსინკის უნივერსიტეტში სავალდებულო პენსიაზე გასვლა ელოდა. „რა უნდა გავაკეთო, რომ შეუცვლელი გავხდე? ოჰ, დავიწყებ გიოდელის იდუმალი სტენოგრაფიული გვერდების კითხვას!“ მან მიიღო €2.5 მილიონი (ფუნტ სტერლინგში £2.1 მილიონი) გრანტი ევროპის კვლევების საბჭოსგან, თავად ისწავლა გაბელსბერგერის სტენოგრაფია — „მე მსოფლიოში მხოლოდ ექვსი ადამიანი ვარ, ვინც მას კითხულობს“ — და მცირე გუნდი შეკრიბა.
აგვისტოში, საფრანგეთში გამართულ კონფერენციაზე, რომელიც AI-სა და თეორემების დამტკიცებას ეხებოდა, ფონ პლატომ კომპიუტერული მეცნიერები გაიცნო, რომლებმაც ურჩიეს Claude-ის დახმარებით გაეანალიზებინა სამუშაო რვეულები. ჰელსინკში დაბრუნების შემდეგ მან პროცესი დაიწყო — Claude-ს აჩვენა რვეულების ტრანსკრიფციები, ასევე ექვსი წიგნი, რომელიც გიოდელზე ჰქონდა დაწერილი და სხვა სამეცნიერო ლიტერატურა.
„რამდენიმე დღეში მივიღე 650-გვერდიანი ახსნა სამუშაო რვეულების შესახებ. თითოეული გვერდი უნდა შემემოწმებინა, მაგრამ ეს, ფაქტობრივად, ადამიანისთვის შეუძლებელი სამუშაოა,“ — ამბობს ფონ პლატო. „ადამიანები ერთ გვერდს კითხულობენ და ხშირად გვავიწყდება წაკითხული. დაახლოებით 50 გვერდის წასაკითხად ერთი წელი გვჭირდება. უბრალოდ არ შეგვიძლია ყველა ნაწილი ერთდროულად გვახსოვდეს.
„AI-ს შეუძლია ათას გვერდში ყველა ნაწილი დააკავშიროს. მას შეუძლია გიოდელის ყველა ნაწერი ერთ მთლიანობად დაინახოს.“
გიოდელის არასრულყოფილების თეორემებმა გამოავლინა გამონათქვამები, რომელთა ჭეშმარიტება იმ სისტემისგან დამოუკიდებელია, რომელშიც ისინი წერია: ანუ, მათი დამტკიცება ან უარყოფა სისტემის ფარგლებში შეუძლებელია. 1966 წელს ამერიკელმა მათემატიკოსმა პოლ კოენმა მიიღო Fields-ის მედალი — მათემატიკის უმაღლესი ჯილდო — ორი ცნობილი მათემატიკური გამონათქვამის დამოუკიდებლობის დამტკიცებისთვის: უწყვეტობის ჰიპოთეზა და არჩევის აქსიომა.
გიოდელმა კოენის Fields-ის მედალზე რეაგირება ასე გამოხატა: თქვა, რომ ეს შედეგი უკვე 1940-იან წლებში ჰქონდა დამტკიცებული. თუმცა, როდესაც კოლეგებმა მას დამტკიცება სთხოვეს, გიოდელმა ვერ შეძლო საკუთარი ჩანაწერებიდან მისი აღდგენა.
ფონ პლატომ Claude-ს პირველი დავალება მისცა: აღმოეჩინა, იყო თუ არა გიოდელის სამუშაო რვეულებში არჩევის აქსიომის დამოუკიდებლობის დამტკიცება, რაც დაადასტურებდა, რომ გიოდელი 1966 წელს სიმართლეს ამბობდა. პასუხი იყო: კი, თითქმის. „ის მხოლოდ ერთი ნაბიჯით იყო დაშორებული,“ — ამბობს ფონ პლატო. „ერთი განსაზღვრება გიოდელმა არასწორად მიიღო, მაგრამ ორი წლით ადრე სწორი განსაზღვრება ჰქონდა, ასე რომ, ვფიქრობ, რომ რამდენიმე თვეში მაინც სწორ განსაზღვრებამდე მივიდოდა. ჩემთვის მისი დამტკიცების არქიტექტურა უბრალოდ შესანიშნავია. ყველა ეს შედეგი ერთიანი სქემით მიჰყვება.“
„რაც განსაკუთრებით მაოცებს, ისაა, რომ გიოდელი იდეებიდან იწყებს. ის არ არის ადამიანი, რომელიც ფორმულებით თამაშობს და იმედოვნებს, რომ სადმე მივა. მას ძალიან, ძალიან მკაფიო იდეები აქვს და შემდეგ მეთოდურად, ნაბიჯ-ნაბიჯ მიდის და ახერხებს მიზნების მიღწევას ამ ფორმალურ ნაშრომში.“
ფონ პლატო ამბობს, რომ როდესაც Claude-მა მას არჩევის აქსიომის დამოუკიდებლობის დამტკიცების რეკონსტრუქცია წარუდგინა, მან ეს დამტკიცება გაატარა პროგრამა Coq-ში, რომელიც მათემატიკური დამტკიცებების სისწორეს ამოწმებს, და დამტკიცება წარმატებით გაიარა. ფონ პლატო მიიჩნევს, რომ გიოდელს არჩევის აქსიომაზე ნაშრომი რომ გამოექვეყნებინა, 1940 წლის Fields-ის მედალს მიიღებდა. „ალბათ, როცა კოენმა მედალი მიიღო, გიოდელმა იგრძნო, რომ რაღაც გამორჩა.“
Claude-თან შემდგომი დისკუსიებისას, ფონ პლატომ AI მოდელს სთხოვა, გამოეყო ყველა თეორემა სამუშაო რვეულებიდან, რომელთაგან გიოდელს ან დამტკიცება ჰქონდა, ან დამტკიცების ესკიზი, ან იდეა. Claude-მა 663 თეორემა იპოვა. როდესაც ეს შედეგები Coq-ში შეამოწმეს: „დაახლოებით 400 დამტკიცდა როგორც იყო, 200-მდე შეკეთდა — ანუ, თეორემის ფორმულირება უფრო ზუსტი გახდა ან დამატებითი დაშვება დაემატა. დაახლოებით 50 აღმოჩნდა მცდარი, რაც გასაკვირი არ არის. გიოდელი თავად, როცა ჩანაწერებს ხელახლა კითხულობდა, ხანდახან მარჯვენა კიდეზე წერდა: falsch! [არასწორი] ან schlecht! [ცუდი].“
ფონ პლატო დასძენს: „დარწმუნებული ვარ, გიოდელის ხელნაწერების შემდგომი კვლევა კიდევ ბევრ განძს გამოავლენს. სამუშაო რვეულებში, Claude-ის თქმით, ათზე მეტი ახალი თემა ლოგიკასა და მათემატიკის საფუძვლებშია, რომლებიც 80 წელზე მეტი ხნის განმავლობაში არავის აღმოუჩენია. ეს ერთ-ერთი მიმართულებაა კვლევისთვის, მაგრამ კიდევ ბევრი სხვაა. მისი ფიზიკისა და კოსმოლოგიის რვეულები უცნობი ტერიტორიაა, რომლის შესწავლასაც ვაპირებ, როგორც კი ლოგიკის პროექტებს დავასრულებ.“
ჯოელ დევიდ ჰამკინსი, ლოგიკის პროფესორი ნოტრ დამის უნივერსიტეტში, ინდიანაში, არ უნახავს Claude-ის მიერ გიოდელის არჩევის აქსიომის დამოუკიდებლობის დამტკიცების რეკონსტრუქცია, მაგრამ ამბობს, რომ თუ ეს დამტკიცება გამძლეა, „ეს გამორჩეული და ისტორიულად საინტერესოა. თუმცა, რამდენი აქ არის Claude-ის და რამდენი გიოდელის — ეს ისტორიკოსების საქმეა.“
ჰამკინსი ამბობს: „ის ფაქტი, რომ იქ რაღაცები კოენის დამტკიცებას ჰგავს, არ ნიშნავს, რომ გიოდელს ეს უკვე ჰქონდა. ეს აჩვენებს, რომ სწორ გზაზე იყო. ვერ მიიღებ აღიარებას იმ ნამუშევრისთვის, რომელიც არავის გაუმხილე. მაგრამ გიოდელს იმდენი რევოლუციური იდეა ჰქონდა, რომ ალბათ არც არის გასაკვირი, რომ მისი რვეულები სავსეა საინტერესო აღმოჩენებით.“
